Если я Вас правильно понял, под второй квартирой имеется в виду приватизированная. Вне всякого сомнения, платить надо, потому что бремя содержания недвижимого имущества, находящегося в собственности гражданина, лежит полностью на нем. Другое дело, если Вы имеете право на предоставление субсидий на оплату жилого помещения и коммунальных услуг в соответствии со статьей 159 ЖК РФ. Тогда размер оплаты может быть уменьшен до определенного законом предела.