Алексей Федотович Климашкин родился в 1925 году в селе Матышево (ныне — Руднянский район Волгоградской области).
Окончил среднюю школу, после чего работал слесарем на заводе боеприпасов.
В октябре 1943 года мобилизован и направлен на фронт командиром расчёта станкового пулемёта 174-го гвардейского стрелкового полка 57-й гвардейской стрелкового дивизии 8-й гвардейской армии 3-го Украинского фронта. Неоднократно отличался во время освобождения Днепропетровской области Украинской ССР
31 января 1944 года в бою у села Ново-Николаевка Климашкин уничтожил более 40 солдат и офицеров противника. 1 февраля 1944 года во время боя за хутор Шевченко он уничтожил ещё 16 солдат и офицеров. 7 февраля Климашкин заменил собой погибшего командира роты и организовал отражение немецкой контратаки. В том бою он получил ранение, но продолжал сражаться.
17 февраля в бою за село Великая Костромка Апостоловского района Климашкин, несмотря на ранение, ворвался в дом, где засели пулемётчики противника, и вступил с ними в рукопашную схватку. В том бою он уничтожил 26 вражеских солдат и офицеров, но и сам погиб. Похоронен в Великой Костромке
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 3 июня 1944 года за "образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство" гвардии красноармеец Алексей Климашкин посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
Награждён орденами Ленина и Славы 3-й степени, медалью "За отвагу".
Навечно зачислен в списки личного состава воинской част
В честь Климашкина названы улицы в Великой Костромке, Донецке и в Пресненском районе
